管理科学与工程考研科目(同济大学管理科学与工程考研科目)-考研培训网

管理科学与工程考研科目，同济大学管理科学与工程考研科目

本书从经典的伽辽金方法和瑞利-里茨方法的加权平均近似思想入手，在介绍变分法及其与微分方程关系的基础上，论述了试探函数、基函数和形函数的重要作用，以及分片积分方法的重要性，进而引导出了有限元法的思想，并阐述了有限元法的实质。在此基础上，介绍了广义变分原理与有限元法的关系。针对大型多维系统分析和计算过程中存在的计算量大的问题，介绍了模态方法的思想和作用、半解析半有限元法的应用，以及静力和动力子结构的方法及实施途径。针对非线性问题，介绍了迭代方法、切线或割线线性化方法以及非线性随机问题的统计线性化法的作用及实施过程，介绍了摄动方法的使用技巧和实施途径。此外，对于微分方程的直接近似求解，还介绍了有限差分法的思想和使用过程。

科学是对规律的认识，它更具有一般性和普适性，无论从对象描述、内在解析，还是外在因素处理等角度，都具有模型化和抽象化的特点。科学的问题相对比较严谨，精确解析的程度较高，而工程问题更多体现为实际和具体，近似计算的层面较强。因此，工程和科学之间往往存在一定的间隔界限。为了有效解决工程中的实际问题，需要将工程和科学联系在一起，用科学的理念和科学的方法解决工程的实际问题，构建起工程与科学的桥梁，消除科学与工程的间隔，抹平解析与近似的界限。本书正是基于这种认知，提出了工程科学近似方法这一理念。

工程中的问题往往都是比较复杂的，无论从结构形态、材料组成，还是载荷特征等方面，都会呈现十分复杂的特点。针对这样的工程问题，一般是很难得到解析解的。特别是工程中的非线性问题，更是难以得到解析的解答。为此，学者提出了许多近似求解的方法，如伽辽金方法、瑞利-里茨方法、摄动渐近解法等。近似方法的近代体现，主要集中在有限元、有限差分等数值方法方面。然而，有限元法(或有限差分法)并不是近似方法的终极形式。换言之，有限元等数值计算方法仅是源于近似方法的某种特定形式，并不能代替或涵盖全部的近似方法。例如，僵化的有限元法会带来维数过多的问题，对于一个复杂的工程问题，为了求解精度，有时要划分为很多的单元数和节点数，数量巨大，计算耗时长，数据存储容量也十分庞大，以至于一般的小型计算机无法完成计算。这里就存在一个再近似的问题。因此，不能说有了有限元等数值计算方法就无须再利用经典的近似方法。

数值计算方法和解析方法的区别是不言而喻的。数值计算方法往往是针对具体的结构和具体的参数进行的，给出的结果也是针对特定结构、特定参数、特定边界条件的。要想得到某个参数的影响规律，就需要做一系列的计算；要想得到多个参数的影响规律，就需要做更多的计算。例如，对于某个参数的规律研究，要计算m个点，则对于n个参数就需要进行m×n次计算。当然，也可以采用正交试验方法减少一些计算量。即使这样，要想探究参数的影响规律，用数值计算方法，还是要进行多次计算。与数值计算方法不同，解析方法会给出各参数一目了然的影响规律。因此，无论对于多么复杂的问题，总是首先想尽办法得到解析的规律。通常精确的解析规律难以获得，这时近似的规律就是一种不错的选择。通过试探函数等手段所得的近似规律更有助于认识问题的本质。从这个意义上讲，单纯的数值计算代替不了近似的解析分析。

整体网格划分结构

经典的近似方法有很多，如伽辽金方法、瑞利-里茨方法、加权余量法、牛顿迭代法、差分法等，近代的近似方法也有不少，如摄动渐近解法、模态综合法、等效线性化法、有限元法、有限差分法等。

所有这些方法都有其对应的理论基础和基本原理：伽辽金方法和加权余量法的原理是加权平均；瑞利-里茨方法的原理是将泛函的极值转化成函数的极值；牛顿迭代法的原理是线性化迭代逼近；摄动渐近解法的原理是通过小参数展开渐近逼近；等效线性化法的原理是统计平均；有限元法的基础则是变分原理；模态分析方法和模态综合法的机理则是共振原理。总之，任何一种方法都有其对应的理论基础，但这些方法都属工程应用上的近似方法。

近似方法在工程问题的分析中十分有效：一方面，绝大部分工程问题都很难找到精确的解析解，只有通过近似计算才能获得所需的解答；另一方面，从解析建模的角度来看，在建立理论模型的过程中，实际上已经做了很多假设，而这些建模过程中的假设实际上也是一种近似。因此，近似方法得到的解并不一定比解析的精确解准确度更低。关键要看近似的程度和对误差的判断。

除了上述方法，在工程应用中还有其他各种各样的近似方法，其目的都是实现有效的计算，特别是实现有效的简化计算。